Question

7．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极值，
（1）若y=f（x）在原点处的切线的斜率为-3，求f（x）的解析式和极值；
（2）若f（x）在x=1处取得的是极小值，问是否存在实数m，n，t∈[1，$\frac{3}{2}$]使得f（m）+f（n）＜f（t）成立，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b，c的方程组，解出即可；（2）求出b=-2a-3，求出f（x）的导数，结合函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f′（1）=0}\\{f′（0）=-3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3+2a+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=0，b=-3，c=0，
∴f（x）=x³-3x且f（x）的极大值为f（-1）=2，极小值为f（1）=-2；
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$，得：b=-2a-3，
∴f（x）=x³+ax²-（2a+3）x，f′（x）=（x-1）（3x+2a+3），
因为f（x）在x=1处取得的是极小值，则可得-$\frac{2a+3}{3}$＜1，解得：a＞-3，
且f（x）在[1，$\frac{3}{2}$]上单调递增，要想存在实数m，m，t∈[1，$\frac{3}{2}$]，
使得f（m）+f（n）＜f（t）成立，
则只需2f（1）＜f（$\frac{3}{2}$），2（-2-a）＜-$\frac{3}{4}$a-$\frac{9}{8}$，解得：a＞-$\frac{23}{10}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．