Question

20．已知e=2.71828…，设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-bx+alnx存在极大值点x₀，且对于b的任意可能取值，恒有极大值f（x₀）＜0，则下列结论中正确的是（　　）

• A． 存在x₀=$\sqrt{a}$，使得f（x₀）＜-$\frac{1}{e}$
• B． 存在x₀=$\sqrt{a}$，使得f（x₀）＞-e
• C． a的最大值为e²
• D． a的最大值为e³

Answer 1

分析 求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
则函数的导数f′（x）=x-b+$\frac{a}{x}$，
若函数f（x）存在极大值点x₀，
则f′（x）=0有解，
即x²-bx+a=0有两个不等的正根，
则 $\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}-4a＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=b＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=a＞0}\end{array}\right.$，得b＞2$\sqrt{a}$，（a＞0），
由f′（x）=0得x₁=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$，x₂=$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$，
分析易得f（x）的极大值点为x₁=x₀，
∵b＞2$\sqrt{a}$，（a＞0），
∴x₁=x₀=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4a}}{2}$=$\frac{2a}{b+\sqrt{{b}^{2}-4a}}$∈（0，$\sqrt{a}$），
则f（x）_极大值=f（x₀）=$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$-bx₀+alnx₀=$\frac{1}{2}$x₀²-x₀²-a+alnx₀=-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+alnx₀-a，
设g（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²-a，x∈（0，$\sqrt{a}$），
f（x）的极大值恒小于0等价为g（x）恒小于0，
∵g′（x）=$\frac{a}{x}$-x=$\frac{a{-x}^{2}}{x}$＞0，
∴g（x）在（0，$\sqrt{a}$）上单调递增，
故g（x）＜g（$\sqrt{a}$）=aln$\sqrt{a}$-$\frac{3}{2}$a≤0，
得ln$\sqrt{a}$≤$\frac{3}{2}$，即a≤e³，
故a的最大值为是e³，
故选：D．

点评 本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．