Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
（1）若a，b，c成等差数列，且sinA=2sinC，求cosB的值；
（2）若b=c=2，且函数f（x）=$\frac{1}{4}$x³-$\frac{3}{4}$x的极大值为cosA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c成的等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简已知的等式得到关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入计算即可求出值；
（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的极值，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
利用正弦定理化简sinA=2sinC得：2c=a，则b=$\frac{3}{2}$c，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4{c}^{2}+{c}^{2}-\frac{9}{4}{c}^{2}}{4{c}^{2}}$=$\frac{11}{16}$；
（2）函数f（x）=$\frac{1}{4}$x³-$\frac{3}{4}$x，
f′（x）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$，令$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$=0，可得x=1或x=-1．
x＜-1，x＞1时，f′（x）＞0，函数是增函数，
x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，函数是减函数，
易知f（x）极大=f（-1）=$\frac{1}{2}$=cosA，
从而sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$
即△ABC的面积为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．同时综合考查导数的极值的知识，考查解三角形的有关知识．