Question

15．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，连接其四个顶点组成的菱形面积为$8\sqrt{3}$，且a²、c²、b²成等差数列
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆E交于A、B两点，且点P（-3，2）在线段AB的垂直平分线上，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用椭圆的性质求得a、b的值，可得椭圆E的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+m代入椭圆，利用韦达定理、中点公式求得AB的中点Q的坐标，利用弦长公式求得AB的长，从而求得△PAB的面积．

解答 解：（1）由已知$\frac{1}{2}•2a•2b=8\sqrt{3}$，得$ab=4\sqrt{3}$．
又a²+b²=2c²且c²=a²-b²得$a=\sqrt{3}b$，
∴$a=2\sqrt{3}，b=2$，从而椭圆E的方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）设直线l的方程为y=x+m，联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$得4x²+6mx+3m²-12=0，
因为直线l与椭圆E交于A、B两点，
∴△=（6m）²-4×4×（3m²-12）＞0，即m²＜16．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点$Q（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，
因为$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{3m}{2}}\\{{y_1}+{y_2}={x_1}+{x_2}+2m=\frac{m}{2}}\end{array}}\right.$，所以$Q（-\frac{3m}{4}，\frac{m}{4}）$；      
又因为P（-3，2）在线段AB的垂直平分线上，所以PQ⊥AB；
又因为AB斜率为1，所以k_PQ=-1，得m=2（满足要求）．
从而$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-3}\\{{x_1}•{x_2}=0}\end{array}}\right.$，即|x₁-x₂|=3，中点$Q（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，
因此△PAB的面积为${S_{△PAB}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|•|PQ|=\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆的定义和性质的应用，直线和椭圆的位置关系的应用，韦达定理，属于中档题．