Question

1．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（5，0），C（3，4）．
（1）求过点A且与直线BC垂直的直线方程．
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用斜率计算公式可得k_BC=-2，可得与直线BC垂直的直线斜率为$\frac{1}{2}$，利用点斜式即可得出．
（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|=2$\sqrt{5}$．直线BC的方程为：2x+y-10=0．求出点A到直线BC的距离d，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}d|BC|$即可得出．

解答 解：（1）k_BC=$\frac{0-4}{5-3}$=-2，∴与直线BC垂直的直线斜率为$\frac{1}{2}$．
∴过点A且与直线BC垂直的直线方程为y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），化为：x-2y+3=0．
（2）|BC|=$\sqrt{（5-3）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
直线BC的方程为：y-0=-2（x-5），化为2x+y-10=0．
∴点A到直线BC的距离d=$\frac{|2+2-10|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}d|BC|$=$\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{5}}{5}$×$2\sqrt{5}$=6．

点评 本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．