Question

9．在△ABC中，如果lga-lgc=lg（sinB）=-lg$\sqrt{2}$，且B为锐角，试求A，B，C．

Answer 1

分析 由已知的条件利用正弦定理，余弦定理和对数的运算性质即可求A，B，C．

解答 解：在△ABC中，
∵lga-lgc=lgsinB=-lg$\sqrt{2}$=lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$，并且B为锐角，
∴lg$\frac{a}{c}$=lgsinB=-lg$\sqrt{2}$=lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴B=$\frac{π}{4}$，且$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$a，∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由余弦定理得cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{a}^{2}-{b}^{2}}{2\sqrt{2}{a}^{2}}$，
得a²=b²，即a=b，
∴三角形ABC为等腰三角形，
即A=B=$\frac{π}{4}$，
∴C=$\frac{π}{2}$

点评 本题考查对数函数的运算性质，直角三角形中的边角关系，要求熟练掌握余弦定理和正弦定理的应用．