Question

4．正项数列{a_n}满足：a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=2^n-1 a_n-n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）解关于a_n的一元二次方程求出a_n；
（2）T_n=（2•1+2²•2+2³•3+…+2ⁿ•n）-（1+2+3+…+n），利用裂项法求出第一部分的和，使用等差数列的求和公式求出第二部分的和．

解答 解：（1）∵a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
∴a_n=2n或a_n=-1．
∵a_n＞0，
∴a_n=2n．
（2）b_n=2^n-1•2n-n=2ⁿ•n-n．
∴T_n=2•1-1+2²•2-2+2³•3-3+…+2ⁿ•n-n
=（2•1+2²•2+2³•3+…+2ⁿ•n）-（1+2+3+…+n）
=（2•1+2²•2+2³•3+…+2ⁿ•n）-$\frac{1+n}{2}•n$．
设2•1+2²•2+2³•3+…+2ⁿ•n=S，①
则2²•1+2³•2+2⁴•3+…+2ⁿ•（n-1）+2ⁿ⁺¹•n=2S，②
①-②得：-S=2+2²+2³+…+2ⁿ-2ⁿ⁺¹•n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-2ⁿ⁺¹•n=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ⁺¹•n．
∴S=2ⁿ⁺¹•n-2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=S-$\frac{1+n}{2}•n$=2ⁿ⁺¹•（n-1）-$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{n}{2}$+2．

点评 本题考查了裂项法数列求和，根据数列特点选择合理的求和方法是解决此类题目的关键，属于中档题．