Question

11．若a，b在区间$[{0，\sqrt{3}}]$上取值，则函数$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+b{x^2}+\frac{1}{4}ax$在R上有两个相异极值点的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 先利用导数求出函数f（x）在R上有两个相异极值点的充要条件，得出关于a，b的约束条件，在a-o-b坐标系中画出可行域，再利用几何概型求出两者的面积比即可．

解答 解：易得f′（x）=ax²+2bx+$\frac{1}{4}$a，
函数f（x）在R上有两个相异极值点的充要条件：
是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b²-a²＞0，
又a，b在区间[0，$\sqrt{3}$]上取值，则a＞0，b＞$\frac{1}{2}$a，
点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，

其中正方形区域的面积为3，
阴影部分的面积为3-$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
故所求的概率p=$\frac{\frac{9}{4}}{3}$=$\frac{3}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值、几何概型．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．