Question

8．已知函数f（x）=ax³+bx²（a≠0），在x=1时取得极值3，求：
（1）f（x）的表达式；
（2）f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（x）在x=1时取得极值3，得到关于a，b的不等式组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx，
∵f（x）在x=1时取得极值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b=0}\\{f（1）=a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-6，b=9，
故f（x）=-6x³+9x²；
（2）由（1）得：f′（x）=-18x²+18x=-18x（x-1），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（1，+∞）单调减；[0，1]单调增．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．