Question

20．平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，1），B（4，-2），C（7，0）．
（1）证明：△ABC是等腰直角三角形；
（2）若E为BC的中点，试在线段AC上确定点D及确定实数t，使得$\overrightarrow{OB}$+t$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OE}$．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥BC，AB=BC，即可证明：△ABC是等腰直角三角形；
（2）由题意E（5.5，-1），∴$\overrightarrow{BE}$=（1.5，1），设D（x，y），则由t（x，y）=（1.5，1），求出AC方程，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵点A（2，1），B（4，-2），C（7，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，-3），$\overrightarrow{BC}$=（3，2），
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=2×3+（-3）×2=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{BC}$．
又|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{13}$，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：由题意E（5.5，-1），∴$\overrightarrow{BE}$=（1.5，1）．
设D（x，y），则由t（x，y）=（1.5，1），
∴x=$\frac{1.5}{t}$，y=$\frac{1}{t}$，
∵$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AD}$=（x-2，y-1），$\overrightarrow{AC}$=（5，-1）
∴x-5y+3=0，
∴$\frac{1.5}{t}-\frac{5}{t}+3=0$，
∴t=1.5，
∵D（1，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查三角形中的计算问题，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．