Question

11．已知数列{a_n+2n-1}的前n项和S_n=2ⁿ+n²-1，则数列{a_n}的通项公式为2^n-1．

Answer 1

分析 先求出{a_n}的前n项和T_n，再利用公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出a_n．

解答 解：设{a_n}的前n项和为T_n，则S_n=T_n+1+3+5+…+（2n-1）=2ⁿ+n²-1，
∴T_n=2ⁿ+n²-1-[1+3+5+…+（2n-1）]
=2ⁿ+n²-1-n²
=2ⁿ-1．
∴当n=1时，a₁=T₁=1，
当n≥2时，a_n=T_n-T_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1．
经检验，当n=1时，上式仍成立，
∴a_n=2^n-1．
故答案为：2^n-1．

点评 本题考查了数列前n项和与通项公式的关系，属于中档题．