Question

1．已知函数f（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求关于x的不等式f（x）≤0的解集；
（2）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）≤0的解集．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{2}$时，原不等式等价于（2x-1）（x-2）≤0，解得即可，
（2）当a＞0时，x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1≤0等价于（x-a）（x-$\frac{1}{a}$）≤0，对a进行分类讨论即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）≤0，即x²-$\frac{5}{2}$x+1≤0，
即2x²-5x+2≤0，即（2x-1）（x-2）≤0，解得$\frac{1}{2}$≤x≤2，
故不等式的解集为[$\frac{1}{2}$，2]；
（2）当a＞0时，x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1≤0等价于（x-a）（x-$\frac{1}{a}$）≤0
①若0＜a＜1，解得：a≤x≤$\frac{1}{a}$，故其解集为[a，$\frac{1}{a}$]
②若a=1，解得：x=1；故其解集为{1}，
③若a＞1，解得：$\frac{1}{a}$≤x≤a，故其解集为[$\frac{1}{a}$，a]．

点评 本题考查了分类讨论、一元二次不等式的解法、一元二次方程的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．