Question

16．经过点（2，0）且与曲线y=$\frac{4}{x}$相切的直线方程为4x+y-8=0．

Answer 1

分析 点P（2，0）不在曲线y=$\frac{4}{x}$上．设经过点P（2，0）与曲线y=$\frac{4}{x}$相切的直线方程为y=k（x-2），切点为Q（x₀，y₀），可得：y′=$-\frac{4}{{x}^{2}}$，k=$-\frac{4}{{x}_{0}^{2}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-2}$，y₀=$\frac{4}{{x}_{0}}$，联立解出即可得出．

解答 解：点P（2，0）不在曲线y=$\frac{4}{x}$上．
设经过点P（2，0）与曲线y=$\frac{4}{x}$相切的直线方程为y=k（x-2），切点为Q（x₀，y₀），
y′=$-\frac{4}{{x}^{2}}$，则k=$-\frac{4}{{x}_{0}^{2}}$=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-2}$，y₀=$\frac{4}{{x}_{0}}$，
∴-4（x₀-2）=${x}_{0}^{2}$×$\frac{4}{{x}_{0}}$，解得x₀=1，
∴k=-$\frac{4}{{1}^{2}}$=-4，
∴切线方程为：y=-4（x-2），化为：4x+y-8=0．
故答案为：4x+y-8=0．

点评 本题考查了导数的几何意义、切线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．