Question

7．设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式证明：
（1）log_ab=$\frac{1}{lo{g}_{b}a}$；
（2）log${\;}_{{a}^{n}}$b^m=$\frac{m}{n}$log_ab（m∈R，n∈R，n≠0）．

Answer 1

分析 （1）（2）利用对数的换底公式即可证明，注意选取底数．

解答 证明：（1）∵a，b均为不等于1的正数，
∴log_ab=$\frac{lo{g}_{b}^{b}}{lo{g}_{b}a}$=$\frac{1}{lo{g}_{b}a}$，
∴log_ab=$\frac{1}{lo{g}_{b}a}$．
（2）∵log${\;}_{{a}^{n}}$b^m=$\frac{lg{b}^{m}}{lg{a}^{n}}$=$\frac{mlgb}{nlga}$=$\frac{m}{n}$log_ab（m∈R，n∈R，n≠0），
∴log${\;}_{{a}^{n}}$b^m=$\frac{m}{n}$log_ab（m∈R，n∈R，n≠0）．

点评 本题考查了对数的换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．