Question

17．设a，b为常数，f（x）=（a-3）sin x+b，g（x）=a+bcos x，且f（x）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）的最小值为-1，且sin b＞0，求b的值．

Answer 1

分析 （1）令f（-x）=f（x）恒成立得出a即可；
（2）令a-|b|=-1得b=±4，根据sinb＞0进行验证即可判断b的值．

解答 解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）恒成立，即（a-3）sin（-x）+b=（a-3）sinx+b恒成立．
∴2（a-3）sinx=0恒成立．
∴a=3．
（2）∵-1≤cosx≤1，
∴g（x）的最小值是3-|b|，即3-|b|=-1．
∴|b|=4，b=±4．
∵1弧度≈57°，
∴4弧度≈228°，
当b=4时，sinb=sin4＜0，不符合题意，
当b=-4时，sinb=sin（-4）=-sin4＞0，符合题意．
∴b=-4．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数最值的计算，属于中档题．