Question

2．已知数列{a_n}、{b_n}分别是等差数列、等比数列，且满足a₃=8，a₆=17，b₁=2，b₁b₂b₃=9（a₂+a₃+a₄）．
（1）分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=log₃b_n，求证：数列{c_n}是等差数列，并求其公差d′和首项c₁；
（3）设T_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，其中n=1，2，…，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的性质即可求出通项公式，
（2）根据对数的运算性质和等差数列的定义即可证明，
（3）根据等比数列的前n项和公式即可求出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，a₃=8，a₆=17，
∴d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=$\frac{17-8}{3}$=3，
∴a_n=a₃+（n-3）d=8+3（n-3）=3n-1，
∴a₂+a₃+a₄=3a₃=24，
∵数列{b_n}是等比数列，设公比为q，b₁=2，
∴b₁b₂b₃=2×2q×2q²=8q³=9（a₂+a₃+a₄）=9×24，
解得q=3，
∴b_n=2×3^n-1，
（2）∵c_n=log₃b_n=n+log₃2-1，
∴c_n+1-c_n=n+1+log₃2-1-n-log₃2+1=1=d′
∵c₁=log₃b₁=1+log₃2-1=log₃2，
∴数列{c_n}是以首项为log₃2，公差d′=1的等差数列
（3）∵b_n=2×3^n-1，
∴{b_3n-2}是以b₁=2为首项，以q³=27为等比的等比数列，
∴T_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2=$\frac{2（1-2{7}^{n}）}{1-27}$=$\frac{1}{13}$（27ⁿ-1）

点评 本题考查了等差数列等比数列的性质和定义以及等比数列的前n项和公式，属于中档题．