Question

12．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点．
（1）求证：平面PED⊥平面PAE；
（2）求直线PD与平面PAE所成的角．

Answer 1

分析 （1）四边形ABCD是矩形，可得∠B=∠C=90°，由已知可得：AE²+DE²=16=AD²，因此DE⊥AE，利用PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DE．再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（2）由（1）可得：DE⊥平面PAE，可得∠DPE是直线PD与平面PAE所成的角．再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，
∵AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点．
∴AE²=2²+2²=8=DE²，
∴AE²+DE²=16=AD²，
∴∠AED=90°，
∴DE⊥AE，
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴PA⊥DE．
又PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE，又DE?平面PED．
∴平面PED⊥平面PAE．
（2）解：由（1）可得：DE⊥平面PAE，
∴∠DPE是直线PD与平面PAE所成的角．
在Rt△PAE中，PE=$\sqrt{P{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．
同理可得：DE=2$\sqrt{2}$．
∴tan∠DPE=$\frac{DE}{PE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DPE=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、勾股定理及其逆定理、矩形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．