Question

13．若命题“存在x₀∈R，使得mx₀²+mx₀+2≤0”为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]∪[8，+∞）
• B． （0，8]
• C． [0，8）
• D． （0，8）

Answer 1

分析 把命题“存在x₀∈R，使得mx₀²+mx₀+2≤0”为假命题化为其否定命题：“任意x₀∈R，都有mx₀²+mx₀+2＞0”为真命题，讨论m=0与m≠0时，求出对应m的取值范围即可．

解答 解：命题“存在x₀∈R，使得mx₀²+mx₀+2≤0”的否定为：
“任意x₀∈R，都有mx₀²+mx₀+2＞0”，
由于命题“存在x₀∈R，使得mx₀²+mx₀+2≤0”为假命题，
则其否定为：“任意x₀∈R，都有mx₀²+mx₀+2＞0”为真命题，
当m=0时，不等式为2＞0恒成立；
当m≠0时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-8m＜0}\end{array}\right.$，解得0＜m＜8；
综上，实数m的取值范围是[0，8）．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，解决此类问题要结合函数的图象与性质进行处理，是基础题目．