Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*）均在函数y=2x-35的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式并证明数列是等差数列．
（2）当n为何值时，S_n取得最小值？

Answer 1

分析 （1）推导出${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，由此能求出数列{a_n}的通项公式，并能证明数列{a_n}是等差数列．
（2）由${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，利用配方法能求出S_n的最小值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），（n∈N^*）均在函数y=2x-35的图象上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-35，∴${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$，
∵当n=1时，a₁=S₁=2-35=-33，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-35n-[2（n-1）²-35（n-1）]=4n-37，
n=1时，4n-7=-33=a₁，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=4n-37．
∵a_n-a_n-1=（4n-37）-[4（n-1）-37]=4，n≥2，
∴数列{a_n}是等差数列．
（2）∵${S}_{n}=2{n}^{2}-35n$=2（n-$\frac{35}{4}$）²-$\frac{1225}{8}$，
∴当n=9时，S_n取得最小值S₉=-153．

点评 本题考查数列的通项公式及等差数列的证明，考查数列的前n项和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质及配方法的合理运用．