Question

7．已知椭圆C的中心在原点，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且与抛物线${y^2}=4\sqrt{3}x$有共同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁、A₂，P为椭圆C上异于A₁、A₂的动点，直线A₁P、A₂P分别交直线l：x=4于M、N两点，设d为M、N两点之间的距离，求d的最小值．

Answer 1

分析 （I）抛物线${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点为$（\sqrt{3}，0）$，即为椭圆的焦点．设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．由题意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）设P（x₀，y₀），（x₀≠±2，y₀≠0），可得$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，根据点斜式可得直线A₁P、A₂P的方程，分别交直线l：x=4于M，N两点，可得d=$\frac{1}{|\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}|}$，k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$表示经过椭圆上的点P（x₀，y₀）与点Q（4，0）的直线的斜率（y₀≠0）．设经过点Q且斜率为k的直线方程为：y=k（x-4），与椭圆方程联立，根据判别式即可得出．

解答 解：（I）抛物线${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦点为$（\sqrt{3}，0）$，即为椭圆的焦点．
设椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由题意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1．
故椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）由（I）可得：A₁（-2，0），A₂（2，0），设P（x₀，y₀），（x₀≠±2，y₀≠0），
则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，∴$4{y}_{0}^{2}$=4-${x}_{0}^{2}$．
直线A₁P、A₂P的方程分别为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），分别交直线l：x=4于M$（4，\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$，N$（4，\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}）$两点，
d=$|\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}|$=$|\frac{4{y}_{0}{x}_{0}-16{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}-4}|$=$|\frac{4{y}_{0}{x}_{0}-16{y}_{0}}{4{y}_{0}^{2}}|$=$|\frac{{x}_{0}-4}{{y}_{0}}|$=$\frac{1}{|\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}|}$，
k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-4}$表示经过椭圆上的点P（x₀，y₀）与点Q（4，0）的直线的斜率（y₀≠0）．
设经过点Q且斜率为k的直线方程为：y=k（x-4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0，
由△=（32k²）²-4（1+4k²）（64k²-4）≥0，化为：k²≤$\frac{1}{12}$，解得$-\frac{\sqrt{3}}{6}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$，k≠0，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{6}$时，d取得最小值$\frac{1}{|±\frac{\sqrt{3}}{6}|}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线的方程、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．