Question

7．用数学归纳法证明：1²+2²+3²+…+（n-1）²+n²+（n-1）²+…+3²+2²+1²=$\frac{1}{3}$n（2n²+1）

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 证明：利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=1=右边，此时等式成立；
（2）假设当n=k∈N^*时，1²+2²+3²+…+（k-1）²+k²+（k-1）²+…+3²+2²+1²
=$\frac{1}{3}$k（2k²+1）（k∈N^*）成立．
则当n=k+1时，左边=1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+…+2²+1²
=$\frac{1}{3}$k（2k²+1）+（k+1）²+k²=$\frac{1}{3}$（k+1）[2（k+1）²+1]=右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
根据（1）和（2），可知对n∈N^*等式成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．