Question

18．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=-$\frac{6}{\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}$．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}α}\\{y=-3-α}\end{array}\right.$（α为参数）距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程中利用sin²t+cos²t=1，消去参数t，能求出曲线C₁的普通方程；曲线C₂的极坐标方程中利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）先求出P（-4，4），Q（6cosθ，2sinθ），从而求出PQ中点M的坐标，再求出直线C₃的直角坐标方程，由此利用点到直线的距离公式能求出PQ中点M到直线C₃的距离的最小值．

解答 解：（1）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+cost}\\{y=3+sint}\end{array}\right.$（t为参数），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cost=4+x}\\{sint=y-3}\end{array}\right.$，
∴曲线C₁的普通方程为（x+4）²+（y-3）²=1．
∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=-$\frac{6}{\sqrt{1+8si{n}^{2}θ}}$，
∴ρ²+8ρ²sin²θ=36，∴x²+y²+8y²=36，
∴曲线C₂的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）∵C₁上的点P对应的参数为t=$\frac{π}{2}$，∴P（-4，4），
∵Q为C₂上的动点，∴Q（6cosθ，2sinθ），
∴PQ中点M（-2+3cosθ，2+sinθ），
∵直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}α}\\{y=-3-α}\end{array}\right.$（α为参数），
∴C₃为直线x+$\sqrt{3}y$+6$\sqrt{3}$=0，
∴点M到C₁的距离：
d=$\frac{|-2+3cosθ+2\sqrt{3}+\sqrt{3}sinθ+6\sqrt{3}|}{\sqrt{{1}^{2}+3}}$=|4$\sqrt{3}+\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{3}）-1$|，
∴当sin（$θ+\frac{π}{3}$）=-1时，PQ中点M到直线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3\sqrt{3}+\sqrt{3}α}\\{y=-3-α}\end{array}\right.$（α为参数）距离的最小值：
d_min=3$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程的求法，考查线段中点到直线距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质、极坐标公式与直角坐标公式互化、点到直线的距离公式的合理运用．