Question

10．若$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}-3{a}^{2}+4a=2016}\\{{b}^{3}-3{b}^{2}+4b=-2012}\end{array}\right.$，求a+b的值．

Answer 1

分析 设f（x）=x³-3x²+4x，求出导数，判断单调性，计算f（x）+f（2-x）=4，可得函数f（x）关于点（1，2）对称．由f（a）+f（b）=4，可得a+b的值．

解答 解：设f（x）=x³-3x²+4x，
可得f′（x）=3x²-6x+4=3（x-1）²+1＞0，
即有f（x）在R上递增，
又f（2-x）=（2-x）³-3（2-x）²+4（2-x），
可得f（x）+f（2-x）=（x+2-x）[x²+（2-x）²-x（2-x）]-3[x²+（2-x）²]+8
=2（3x²-6x+4）-3（2x²-4x+4）+8=4，
即函数f（x）关于点（1，2）对称．
由f（a）+f（b）=a³-3a²+4a+（b³-3b²+4b）=2016-2012=4，
可得f（b）=f（2-a），即有b=2-a，
则a+b=2．

点评 本题考查两数和的求法，注意运用构造函数法，运用导数判断单调性，以及函数的对称性，判断f（x）关于点（1，2）对称是解题的关键，属于中档题．