Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}$（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{3}$cosθ．
（Ⅰ）求C₁与C₂交点的直角坐标；
（Ⅱ）已知曲线C₃的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），C₃与C₁相交于点P，C₂与C₃相交于点Q，且|PQ|=8，求α的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}$（φ为参数），消去参数可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{3}$cosθ，即ρ²=4$\sqrt{3}$ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程，联立解出即可得出．
（II）曲线C₃的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），$α=\frac{π}{2}$时，不满足|PQ|=8，舍去．
$α≠\frac{π}{2}$时，消去参数化为普通方程：y=xtanα，设k=tanα，即直线l的方程为：y=kx，分别与曲线C₁，C₂的方程联立解出交点P，Q的坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}$（φ为参数），
消去参数可得：x²+（y-2）²=4．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{3}$cosθ，即ρ²=4$\sqrt{3}$ρcosθ，
化为直角坐标方程：x²+y²=4$\sqrt{3}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C₁与C₂交点的直角坐标分别为：（0，0）；$（\sqrt{3}，3）$．
（II）曲线C₃的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），
$α=\frac{π}{2}$时，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=t}\end{array}\right.$，代入方程：x²+（y-2）²=4，解得t=0，t=4．
代入：x²+y²=4$\sqrt{3}$x，解得t=0，不满足|PQ|=8，舍去．
$α≠\frac{π}{2}$时，消去参数化为普通方程：y=xtanα，设k=tanα．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4k}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
可得P（0，0），或P$（\frac{4k}{1+{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4\sqrt{3}}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{4\sqrt{3}k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
可得Q（0，0），或Q$（\frac{4\sqrt{3}}{1+{k}^{2}}，\frac{4\sqrt{3}k}{1+{k}^{2}}）$．
∵|PQ|=8，∴只能取P$（\frac{4k}{1+{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）$，Q$（\frac{4\sqrt{3}}{1+{k}^{2}}，\frac{4\sqrt{3}k}{1+{k}^{2}}）$．
∴$（\frac{4k-4\sqrt{3}}{1+{k}^{2}}）^{2}$+$（\frac{4{k}^{2}-4\sqrt{3}k}{1+{k}^{2}}）^{2}$=8²，
化为：$（\sqrt{3}k+1）^{2}$=0，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，又0≤α＜π，解得α=$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．