Question

11．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求二面角D₁-EC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过证明A₁D⊥平面AD₁E，得出D₁E⊥A₁D；
（2）利用勾股定理证明CE⊥DE，通过证明CE⊥平面DD₁E得出CE⊥D₁E，故∠D₁ED为二面角D₁-EC-D的平面角，在Rt△DD₁E中求出cos∠D₁ED．

解答 （1）证明：∵AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁，
∴AE⊥A₁D，
∵四边形ADD₁A₁是矩形，AD=AA₁，
∴四边形ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
又AD₁?平面AD₁E，AE?平面AD₁E，AD₁∩AE=A，
∴A₁D⊥平面AD₁E，又D₁E?平面平面AD₁E，
∴D₁E⊥A₁D．
（2）连结DE．
∵DD₁⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
∴CE⊥DD₁，
∵AD=AE=BC=BE=1，CD=AB=2，
∴DE=CE=$\sqrt{2}$，
∴DE²+CE²=CD²，
∴CE⊥DE．
又DD₁?DD₁E，DE?平面DD₁E，DD₁∩DE=D，
∴CE⊥平面DD₁E，又D₁E?平面DD₁E，
∴CE⊥D₁E，
∴∠D₁ED为二面角D₁-EC-D的平面角，
∵D₁E=$\sqrt{D{{D}_{1}}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠D₁ED=$\frac{DE}{{D}_{1}E}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算，属于中档题．