Question

16．某种产品的广告费支出x与销售额 y（单位：百万元）之间有如表对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	50	60	70

（Ⅰ）请画出上表数据的散点图．
（Ⅱ）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+x，并估计广告支出1千万元时的销售额
（参考数值：2×30+4×40+5×50+6×60+8×70═1390）
参考公式．
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{\;}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．
（Ⅱ）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．将x=10代入回归直线方程求出y的值即可估计当广告支出1千万元时的销售额．

解答 解：（Ⅰ）根据条件中所给数据易得散点图如下图所示           （3分）

（Ⅱ）根据表格中数据，$\overline{x}$=5，$\overline{y}$=50，
∴b=$\frac{1390-5×5×50}{4+16+25+36+64-5×25}$=7 （7分）
a=50-7×5=15，
∴线性回归方程为 y=7x+15．                         （9分）
当x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=85，广告支出1千万元时的销售额估计有8500万．（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．