Question

4．已知函数f（x）=asin2x+bcos2x（ab≠0），有下列四个命题：其中正确命题的序号为①③（填上所有正确命题的序号）
 ①若a=1，b=-$\sqrt{3}$，要得到函数y=f（x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位；
②若a=1，b=-1，则函数y=f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{4}，0}$）；
③若y=f（x）的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{8}$，则a=b；
④若方程asin2x+bcos2x=m的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为π．

Answer 1

分析 ①a=1，b=-$\sqrt{3}$时化简f（x），根据函数图象的平移，即可得出命题正确；
②a=1，b=-1时化简f（x），计算f（$\frac{π}{4}$）的值，即可判断（$\frac{π}{4}$，0）不是函数y=f（x）的一个对称中心；
③当y=f（x）的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{8}$时，f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，由此得出a=b成立；
④举例说明m=0时方程asin2x+bcos2x=m的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，公差不为π．

解答 解：对于①，当a=1，b=-$\sqrt{3}$时，f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$），
要得到函数y=f（x）的图象，只需将函数y=2sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，命题正确；
对于②，当a=1，b=-1时，f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
且f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=1≠0，∴（$\frac{π}{4}$，0）不是函数y=f（x）的一个对称中心，原命题错误；
对于③，当y=f（x）的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{8}$时，
f（$\frac{π}{8}$）=asin$\frac{π}{4}$+bcos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}$（a-b）²=0，即a=b，命题正确；
对于④，当m=0时，方程asin2x+bcos2x=m的正实数根从小到大依次构成一个等差数列，
此时等差数列的公差为$\frac{π}{2}$，原命题错误．
综上，正确的命题是①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查了给出符合已知条件的三角函数表达式，判断几个选项是否正确的应用问题，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数的知识，是综合性题目．