Question

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线y=kx+b与抛物线C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=2，过弦AB中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5，可得p，即可求抛物线C的方程；
（2）把直线的方程与抛物线方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用三角形的面积公式即可得出．

解答 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为4的点
到焦点的距离为5，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）联立直线y=kx+b与抛物线C得：k²x²+2（kb-2）x+b²=0（k≠0），
x₁+x₂=$\frac{2（2-kb）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$．
|y₁-y₂|=k|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{4（4-4kb）}{{k}^{2}}}$=2，
∴4-4kb=k²，
∵M（$\frac{2-kb}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），D（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∴△ABD的面积S=$\frac{1}{2}$|MD||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×|\frac{1-kb}{{k}^{2}}|×2$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、弦长公式、直线与抛物线相交问题转化为△＞0及根与系数的关系、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．