Question

7．设x₀是方程（$\frac{1}{3}$）^x=$\sqrt{x}$的解，则x₀所在的范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 构建函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-$\sqrt{x}$，利用零点存在定理，即可求得结论．

解答 解：构建函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x-$\sqrt{x}$，则f（$\frac{1}{3}$）=$（\frac{1}{3}）^{\frac{1}{3}}$$-\sqrt{\frac{1}{3}}$=$（\frac{1}{3}）^{\frac{1}{3}}$$-（\frac{1}{3}）^{\frac{1}{2}}$＞0，
f（$\frac{1}{2}$）=$（\frac{1}{3}）^{\frac{1}{2}}-（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{2}}$＜0
∴函数的零点所在的区间是（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
∴解x₀所在的区间是（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
故选：B．

点评 本题考查方程的解所在区间，解题的关键是利用指数函数与幂函数的单调性，利用函数的零点存在定理求解．