Question

12．已知函数f（x）的定义域为R满足f（-x）=f（x），且图象关于直线x=2对称，若0≤x≤2时，f（x）=$\frac{2x}{4{x}^{2}+1}$．
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）求使f（x）=$\frac{1}{2}$在[0，2016]上的所有x的个数，并求在[0，40]上的所有x值的和．

Answer 1

分析 （1）由对称性可知f（2-x）=f（2+x），由奇偶性可知f（2-x）=f（x-2），故而f（x-2）=f（x+2），于是f（x）=f（x+4）；
（2）求出f（x）=$\frac{1}{2}$在[0，2]上的解的个数，利用周期得出[0，2016]上的解的个数，利用对称性得出[0，40]上所有解的和．

解答 解：（1）∵f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，
∵f（x）的图象关于直线x=2对称，
∴f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
∴f（x-2）=f（x+2），
∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）是以4为周期的函数．
（2）令$\frac{2x}{4{x}^{2}+1}=\frac{1}{2}$，即4x²+1-4x=0，解的x=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$在[0，2]上有一解，
∵f（x）的图象关于x=2对称，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$在[2，4]上有一解，
∴f（x）在[0，4]上有两解，
∵f（x）的周期为4，
∴f（x）在[0，2016]上有$\frac{2016}{4}×2$=1008个解．
f（x）在[0，40]上有$\frac{40}{4}×2$=20个解．
∵f（x）图象关于x=2对称，周期为4，
∴f（x）在[0，40]上共有10条对称轴，对称轴方程为x_k=4k-2，（k=1，2，3，…10）．
∴f（x）在[0，40]上的所有x值的和为2（x₁+x₂+x₃+…+x₁₀）=2×$\frac{2+38}{2}×10$=400．

点评 本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，利用函数的对称性是解题的关键，属于中档题．