Question

17．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂都有$\frac{{x}_{1}f（{x}_{2}）-{x}_{2}f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0成立，则不等式f（$\frac{1}{x}$）-$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$＜0的解集为（1，+∞）．

Answer 1

分析 不妨设x₁＜x₂，从而便可得到x₁f（x₂）-x₂f（x₁）＞0，这样该不等式的两边x₁x₂便可得出$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＜\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$，这样根据增函数的定义即可得出函数$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上单调递增，而不等式$f（\frac{1}{x}）-\frac{f（x）}{{x}^{2}}＜0$可变成$\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}＜\frac{f（x）}{x}$，从而得出$\frac{1}{x}＜x$，这样解该不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：根据题意，设x₁＜x₂，则：x₂-x₁＞0；
∴x₁f（x₂）-x₂f（x₁）＞0；
∵x₁，x₂∈（0，+∞）；
∴$\frac{{x}_{1}f（{x}_{2}）-{x}_{2}f（{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}-\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＞0$；
即$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}＜\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$；
∴$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上为增函数；
$f（\frac{1}{x}）-\frac{f（x）}{{x}^{2}}=f（\frac{1}{x}）-\frac{f（x）}{x}•\frac{1}{x}＜0$；
∴$f（\frac{1}{x}）＜\frac{f（x）}{x}•\frac{1}{x}$；
∴$\frac{f（\frac{1}{x}）}{\frac{1}{x}}＜\frac{f（x）}{x}$；
∵f（x）为增函数；
∴$\frac{1}{x}＜x$，且x＞0；
解得x＞1；
∴原不等式的解集为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 考查函数定义域的定义，不等式的性质，以及增函数的定义，根据增函数定义解不等式的方法．