Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1）
求：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；                     
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的坐标，从而利用两个向量的数量积公式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，再根据$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，求得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值．
（Ⅱ）设$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，根据 $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ，求得 cosθ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，1），∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（1，-2）•（1，1）=1-2=-1．
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2，-1），∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$．
（Ⅱ）设$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ=$\sqrt{5}$•$\sqrt{2}$•cosθ，∴cosθ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法法则的应用，两个向量的数量积的运算，求向量的模，属于基础题．