Question

19．已知二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，求二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式的所有有理项．

Answer 1

分析 二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，可得$\frac{1}{2}×{2}^{n}$=512，解得n．再利用通项公式即可得出．

解答 解：∵二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，
∴$\frac{1}{2}×{2}^{n}$=512，解得n=10．
∴$（\sqrt{x}+\frac{1}{2\root{4}{x}}）^{10}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\sqrt{x}）^{10-r}$$（\frac{1}{2\root{4}{x}}）^{r}$=2^-r${∁}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{3r}{4}}$．（r=0，1，2，…，10）．
∵5-$\frac{3r}{4}$∈Z，∴r=0，4，8，
∴所有有理项为T₁=${∁}_{10}^{0}×{2}^{0}×{x}^{5}$=x⁵，T₅=${∁}_{10}^{4}×{2}^{-4}×{x}^{2}$=$\frac{105}{8}{x}^{2}$，T₉=${∁}_{10}^{8}$×2^-8×x^-1=$\frac{45}{256x}$．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．