Question

19．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{x-1}}&{（x≥2）}\\{|{2^x}-1|}&{（x＜2）}\end{array}}$，若函数g（x）=f（x）-k有三个零点，则实数k的取值范围是（0，1）．

Answer 1

分析 写出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，根据零点个数得出g（x）在单调区间端点处的函数值符号，列不等式解出k的范围．

解答 解：g（x）=f（x）-k=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{x-1}-k，x≥2}\\{{2}^{x}-1-k，0≤x＜2}\\{1-{2}^{x}-k，x＜0}\end{array}\right.$，
∴g（x）在（-∞，0）上为减函数，在[0，2）上为增函数，在[2，+∞）上为减函数．
且$\underset{lim}{x→-∞}g（x）$=1-k，g（0）=-k，g（2）=3-k，$\underset{lim}{x→+∞}$g（x）=-k，
∵函数g（x）=f（x）-k有三个零点，且g（x）为连续函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-k＞0}\\{-k＜0}\\{3-k＞0}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1．
故答案为（0，1）．

点评 本题考查了函数的零点与函数单调性的关系，属于中档题．