Question

13．在1≤x≤2的条件下，求函数y=-x²+2ax+1（a是实常数）的最大值M和最小值m．

Answer 1

分析 函数f（x）=-x²+2ax+1的图象的对称轴方程为x=a，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，分别利用二次函数的性质求得f（x）在区间[1，2]上的最值．

解答 解：函数f（x）=-x²+2ax+1的图象的对称轴方程为x=a，
①当a＜1时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴最小值为m=f（2）=4a-3，最大值为M=f（1）=2a．
②当1≤a＜$\frac{3}{2}$时，
f（x）在[1，a）递增，在（a，2]递减，
可得最小值为m=f（2）=4a-3，最大值为M=f（a）=1+a²．
③当$\frac{3}{2}$≤a＜2时，
f（x）在[1，a）递增，在（a，2]递减，
可得最小值为m=f（1）=2a，最大值为M=f（a）=1+a²．
④当a≥2时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴最大值为M=f（2）=4a-3，最小值为m=f（1）=2a．

点评 本题主要考查二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属中档题．