Question

9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a=3，b=2$\sqrt{6}$，∠B=2∠A．
（1）求cosA的值；
（2）求c的值及△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、倍角公式即可得出．
（2）利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）由正弦定理可得：$\frac{3}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{6}}{sin2A}$，化为：cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴3²=$（2\sqrt{6}）^{2}$+c²-4$\sqrt{6}$c×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，化为：c²-8c+15=0，解得c=3或5．
又sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=3$\sqrt{2}$或5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．