Question

6．已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且满足$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{2}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$，$\frac{{a}_{3}}{4}$+$\frac{{a}_{4}}{4}$=$\frac{4}{{a}_{3}}$+$\frac{4}{{a}_{4}}$，则a₁a₄=8．

Answer 1

分析 化简$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{2}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$得a₁a₂的值，同理$\frac{{a}_{3}}{4}$+$\frac{{a}_{4}}{4}$=$\frac{4}{{a}_{3}}$+$\frac{4}{{a}_{4}}$得a₃a₄的值，再根据等比数列的性质求出a₁a₄的值．

解答 解：∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，
且$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{2}{{a}_{1}}$+$\frac{2}{{a}_{2}}$，
∴$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}}{2}$=$\frac{2{（a}_{1}{+a}_{2}）}{{{a}_{1}a}_{2}}$，
∴a₁a₂=2×2=4；
同理$\frac{{a}_{3}}{4}$+$\frac{{a}_{4}}{4}$=$\frac{4}{{a}_{3}}$+$\frac{4}{{a}_{4}}$，
得a₃a₄=4×4=16；
∴a₁a₂a₃a₄=4×16=64，
∴a₁a₄=a₂a₃=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了等比数列的项的性质与应用问题，是基础题目．