Question

10．函数y=log${\;}_{\frac{2}{3}}$（-x²+x+2）的值域[-2，+∞）．

Answer 1

分析 配方得到$-{x}^{2}+x+2=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，从而得出$0＜-{x}^{2}+x+2≤\frac{9}{4}$，这样根据对数函数的单调性便可求出y的范围，即得出该函数的值域．

解答 解：$-{x}^{2}+x+2=-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$；
∴$0＜-{x}^{2}+x+2≤\frac{9}{4}$；
∴$lo{g}_{\frac{2}{3}}（-{x}^{2}+x+2）≥lo{g}_{\frac{2}{3}}\frac{9}{4}$=$lo{g}_{\frac{2}{3}}（\frac{2}{3}）^{-2}=-2$；
∴该函数的值域为[-2，+∞）．
故答案为：[-2，+∞）．

点评 考查函数值域的概念及求法，配方解决二次函数问题的方法，对数函数的单调性，并熟悉对数函数的图象．