Question

2．已知点M（x，y）到点F（2，0）的距离与定直线x=$\frac{5}{2}$的距离之比为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，设点M的轨迹为曲线E
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）设F关于原点的对称点为F′，是否存在经过点F的直线l交曲线E与A、B两点，使得△F′AB的面积为$\sqrt{5}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理，可得曲线E的方程；
（Ⅱ）假设存在经过点F的直线l交曲线E于A、B两点，且三角形F′AB的面积为$\sqrt{5}$．设直线l：x=my+2，代入椭圆方程x²+5y²=5，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得$\frac{1}{2}$•4•|y₁-y₂|=$\sqrt{5}$，化简整理计算即可得到所求直线的方程．

解答 解：（I）由题意可得$\frac{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}{|x-\frac{5}{2}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
移项两边平方可得，x²+y²-4x+4=$\frac{4}{5}$x²-4x+5，
即有曲线E的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1；
（Ⅱ）假设存在经过点F（2，0）的直线l交曲线E于A、B两点，
且三角形F′AB的面积为$\sqrt{5}$．
由题意可得F'（-2，0），设直线l：x=my+2，
代入椭圆方程x²+5y²=5，可得
（5+m²）y²+4my-1=0，
设直线l交椭圆E于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
可得y₁+y₂=-$\frac{4m}{5+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{5+{m}^{2}}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{（5+{m}^{2}）^{2}}+\frac{4}{5+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}\sqrt{1+{m}^{2}}}{5+{m}^{2}}$，
由三角形F′AB的面积为$\sqrt{5}$，可得$\frac{1}{2}$•4•|y₁-y₂|=$\sqrt{5}$，
即有$\frac{4\sqrt{5}\sqrt{1+{m}^{2}}}{5+{m}^{2}}$=$\sqrt{5}$，解得m=±$\sqrt{3}$，
可得存在直线l，且方程为x=±$\sqrt{3}$y+2．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离和点到直线的距离公式，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．