Question

17．设a＞0，解关于x的不等式：2a（1-a）x²-2（1-a）x+1＞0．

Answer 1

分析 根据判别式，再对参数a的取值范围进行讨论，从而求出不等式的解集．

解答 解：2a（1-a）x²-2（1-a）x+1＞0，△=4（1-a）²-8a（1-a）=4（1-a）（1-3a），
当△＜0时，即$\frac{1}{3}$＜a＜1时，此时2a（1-a）＞0，不等式对任意x恒成立，故不等式的解集为R，
当△≥0时，即a≤$\frac{1}{3}$或a≥1时，
①当0＜a≤$\frac{1}{3}$时，此时2a（1-a）＞0，解不等式得x＜$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$或x＞$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，
此时不等式的解集为（-∞，$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$）∪（$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，+∞）；
②当a=1时，不等式等价于1＞0，不等式对任意x恒成立，故不等式的解集为R，
③当a＞1时，此2a（1-a）＜0，解不等式得x＜$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$＜x＜$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，
此时不等式的解集为（$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$）．
综上所述：当0＜a≤$\frac{1}{3}$时，不等式的解集为（-∞，$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$）∪（$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，+∞），
当$\frac{1}{3}$＜a≤1时，不等式的解集为R，
当a＞1时，不等式的解集为（$\frac{1-a-\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$，$\frac{1-a+\sqrt{（1-a）（1-3a）}}{2a（1-a）}$）．

点评 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的数学思想，是综合题目．