Question

7．已知函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}×$$\frac{cos2x+1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$），…（4分）
由T=$\frac{2π}{2}$得，最小正周期T=π；…（6分）
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴-$\frac{2π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤π，…（7分）
∴-1≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，…（9分）
函数f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]的取值范围：[-1，1]．

点评 本题考查了三角函数的化简与形如f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象与性质的应用问题，是基础题目．