Question

19．如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=1，PA=$\sqrt{2}$，O为线段PC的中点，
（1）证明：BC⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面PAB所成的角；
（3）求三棱锥B-AOC的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，又BC⊥AB，故而BC⊥平面PAB；
（2）∠BPC即为直线PC与平面PAB所成的角，利用勾股定理计算出PB，得出tan∠BPC即可得出所求角；
（3）由O为PC中点，可知V_B-AOC=V_O-ABC=$\frac{1}{2}$V_P-ABC．

解答 解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
（2）∵BC⊥平面PAB，
∴∠BPC即为直线PC与平面PAB所成的角．
∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BPC=$\frac{BC}{PB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BPC=30°，即直线PC与平面PAB所成的角为30°．
（3）∵O为线段PC的中点，
∴V_B-AOC=V_O-ABC=$\frac{1}{2}$V_P-ABC=$\frac{1}{6}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\sqrt{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．