Question

1．证明：函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）在区间（0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析 可设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式，从而可判断f（x₁），f（x₂）分别在区间（0，2）和[2，+∞）上的大小关系，这样即证出f（x）的单调性．

解答 证明：设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∵x₁，x₂∈（0，2）时，0＜x₁x₂＜4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在区间（0，2）上单调递减；
同理，x₁，x₂∈[2，+∞）上时，x₁x₂＞4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性定义证明函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂）的大小关系，作差后是分式的一般要通分．