Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x}{a}-{e^x}$（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）有2个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）$f'（x）=\frac{1}{a}-{e^x}$，令f′（x）=0，则$x=ln\frac{1}{a}$．对ln$\frac{1}{a}$与1，2的大小关系分类讨论即可得出．
（Ⅱ）令$f（x）=\frac{x}{a}-{e^x}=0$，则$a=\frac{x}{e^x}$．问题转化为y=a与函数$g（x）=\frac{x}{e^x}$有2个交点．利用导数研究函数g（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（I）$f'（x）=\frac{1}{a}-{e^x}$，令f′（x）=0，则$x=ln\frac{1}{a}$．
当$ln\frac{1}{a}≥2$，即$0＜a≤\frac{1}{e^2}$，f（x）在[1，2]上单调递增，∴$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{2}{a}-{e^2}$；
当$1＜ln\frac{1}{a}＜2$，即$\frac{1}{e^2}＜a＜\frac{1}{e}$，f（x）在$[{1，ln\frac{1}{a}}]$上单调递增，在$[{ln\frac{1}{a}，2}]$上单调递减，
∴$f{（x）_{max}}=f（{ln\frac{1}{a}}）=\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}-\frac{1}{a}$；
当$ln\frac{1}{a}≤1$，即$a≥\frac{1}{e}$，f（x）在[1，2]上单调递减，∴$f{（x）_{max}}=f（1）=\frac{1}{a}-e$．
（Ⅱ）令$f（x）=\frac{x}{a}-{e^x}=0$，则$a=\frac{x}{e^x}$．
问题转化为y=a与函数$g（x）=\frac{x}{e^x}$有2个交点．
令$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}=0$，则x=1．
当x＜1时，g'（x）＞0，当x＞1时，g'（x）＜0．
∴当x=1时，g（x）取得极大值也为最大值$g（1）=\frac{1}{e}$．
且x→+∞，g（x）→0；x→-∞，g（x）→-∞．
故$a∈（{0，\frac{1}{e}}）$时，y=a与函数$g（x）=\frac{x}{e^x}$有2个交点，
即函数f（x）有2个零点．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．