Question

18．在数列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$．
（1）求出a₂，a₃，a₄；
（2）归纳出数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，且a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，即可求出a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）即可归纳出数列的通项公式，然后用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）由a₁=1且a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$  知：${a_2}={a_1}+\frac{1}{1×2}=\frac{3}{2}$，${a_3}={a_2}+\frac{1}{2×3}=\frac{5}{3}$，${a_4}={a_3}+\frac{1}{3×4}=\frac{7}{4}$
（2）猜想数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{2n-1}{n}$，
证明如下：（i） 当n=1时，左边=a₁=1，右边=$\frac{2×1-1}{1}=1$，
∴左边=右边 即猜想成立；
（ii） 假设当n=k时，猜想成立，即有${a_k}=\frac{2k-1}{k}$
那么当n=k+1时，${a_{k+1}}={a_k}+\frac{1}{{k×（{k+1}）}}=\frac{2k-1}{k}+\frac{1}{{k×（{k+1}）}}=\frac{2k+1}{k+1}=\frac{{2（{k+1}）-1}}{k+1}$，
从而猜想对n=k+1也成立；
由（i） （ii）可知，猜想对任意的n∈N^*都成立，
所以数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{2n-1}{n}$．

点评 本题考查数学归纳法，考查数列递推式，着重考查归纳与推理证明的能力，属于中档题．