Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（sin2x，1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，且y=f（x）的图象过点（${\frac{π}{12}$，$\sqrt{3}}$）．
（1）求m的值；
（2）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式，再把点（${\frac{π}{12}$，$\sqrt{3}}$）代入，求得m的值．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得y=g（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵已知$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=msin2x+cos2x$，又∵f（x）过点$（\frac{π}{12}，\sqrt{3}）$，
∴$f（\frac{π}{12}）=msin\frac{π}{6}+cos\frac{π}{6}=\sqrt{3}$，解得：$m=\sqrt{3}$．
（2）由以上可得，$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
把f（x）的图象向左左移ϕ个单位后，得到$g（x）=2sin（2x+2ϕ+\frac{π}{6}）$．
设g（x）的图象上符合题意的最高点为（x₀，2），∵$d=\sqrt{1+x_0^2}=1$，解得x₀=0，
∴g（0）=2，解得$ϕ=\frac{π}{6}$，∴$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}+\frac{π}{6}）=2sin（2x+\frac{π}{2}）=2cos2x$，
∴-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈z$-\frac{π}{2}+kπ≤x≤kπ，k∈z$，
∴f（x）的单调增区间为$[-\frac{π}{2}+kπ，kπ]，k∈z$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．