Question

9．设数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，a_n+2=2a_n+1-a_n+2（n∈N*）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
（2）求：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，变形为（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，a₂-a₁=4，即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2．利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n．再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，a₂-a₁=4，
∴数列{a_n+1-a_n}是等差数列，首项为4，公差为2．
（2）解：由（1）可得：a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其求和公式、“累加求和”方法、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．