Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若圆x²+y²=a²被直线x-y-$\sqrt{2}$=0截得的弦长为2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x-1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）求出圆x²+y²=a²的圆心（0，0）到直线x-y-$\sqrt{2}$=0的距离d，利用2=2$\sqrt{{a}^{2}-{d}^{2}}$，解得a²，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-4m+1）+{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，令2m²-4m+1=2（m²-2），解得m即可得出．

解答 解：（I）圆x²+y²=a²的圆心（0，0）到直线x-y-$\sqrt{2}$=0的距离d=$\frac{|0-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，
∴2=2$\sqrt{{a}^{2}-{1}^{2}}$，解得a²=2，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得：a²=2，c=1=b．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-m，y₁）•（x₂-m，y₂）=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-1）（x₂-1）=（1+k²）x₁•x₂-（m+k²）（x₁+x₂）+m²+k²
=（1+k²）•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（m+k²）$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²+k²
=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-4m+1）+{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
令2m²-4m+1=2（m²-2），解得m=$\frac{5}{4}$．
因此在x轴上存在定点M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值$-\frac{7}{16}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、定值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．