Question

4．定义$（\begin{array}{l}{{x}_{n+1}}\\{{y}_{n+1}}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{1}&{1}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{{x}_{n}}\\{{y}_{n}}\end{array}）$（n∈N^*）为向量$\overrightarrow{O{P}_{n}}$=（x_n，y_n）到向量$\overrightarrow{O{P}_{n+1}}$=（x_n+1，y_n+1）的一个矩阵变换，设向量$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（cosα，sinα），O为坐标原点，则|$\overrightarrow{O{P}_{n}}$|=（$\sqrt{2}$）^n-1．

Answer 1

分析 由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}-{y}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，分别求得|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|，代入求得$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（cosx-sinx，cosx+sinx），及|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|，进而求得$\overrightarrow{O{P}_{3}}$，$\overrightarrow{O{P}_{4}}$，$\overrightarrow{O{P}_{5}}$，及|$\overrightarrow{O{P}_{3}}$|，|$\overrightarrow{O{P}_{4}}$|，|$\overrightarrow{O{P}_{5}}$|，即可求得|$\overrightarrow{O{P}_{n}}$|=（$\sqrt{2}$）^n-1．

解答 解：由$（\begin{array}{l}{{x}_{n+1}}\\{{y}_{n+1}}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{1}&{1}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{{x}_{n}}\\{{y}_{n}}\end{array}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}-{y}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，
当n=1，$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（cosα，sinα），|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|=cos²α+sin²α=1=（$\sqrt{2}$）⁰，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=cosx-sinx}\\{{y}_{2}=cosx+sinx}\end{array}\right.$，
$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（cosx-sinx，cosx+sinx），
|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|=$\sqrt{（cosx-sinx）^{2}+（cosx+sinx）^{2}}$=$\sqrt{2（si{n}^{2}x+co{s}^{2}x）}$=（$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{O{P}_{3}}$=2（-sinx，cosx），
|$\overrightarrow{O{P}_{3}}$|=$\sqrt{4si{n}^{2}x+4co{s}^{2}x}$=2=（$\sqrt{2}$）²，
$\overrightarrow{O{P}_{4}}$=2（-sinx-cosx，sinx-cosx），
|$\overrightarrow{O{P}_{4}}$|=2$\sqrt{（sinx+cosx）^{2}+（sinx-cosx）^{2}}$=2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$）³，
$\overrightarrow{O{P}_{5}}$=4（-sinx，-cosx），
|$\overrightarrow{O{P}_{5}}$|=4$\sqrt{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=4=（$\sqrt{2}$）⁴，
…
∴|$\overrightarrow{O{P}_{n}}$|=（$\sqrt{2}$）^n-1，
故答案为：（$\sqrt{2}$）^n-1．

点评 本题考查矩阵的坐标变换，考查数列的递推公式，同角三角函数基本关系，向量模长公式，考查推理运算能力，属于中档题．