Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）}$，则S₂₀₁₆=$\frac{1+12\sqrt{14}-\sqrt{2017}}{2}$．

Answer 1

分析 将a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）}$分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$，再使用裂项法得出a_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$），从而得出S₂₀₁₆的值．

解答 解：a_n=$\frac{1}{（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{2（\sqrt{n-1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$）．
∴S₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$）
+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$-$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$-$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}$）
=$\frac{1}{2}$[1-（$\sqrt{2017}-\sqrt{2016}$）]
=$\frac{1+\sqrt{2016}-\sqrt{2017}}{2}$
=$\frac{1+12\sqrt{14}-\sqrt{2017}}{2}$．
故答案为：$\frac{1+12\sqrt{14}-\sqrt{2017}}{2}$．

点评 本题考查了裂项法数列求和，寻找通项公式的分母特点进行裂项是关键，属于中档题．